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打麻將的數學冷知識（一）：攞牌時最能合作「作弊」的，是對家

打麻將的數學冷知識（一）：攞牌時最能合作「作弊」的，是對家 - The News Lens 關鍵評論網

打麻將的數學冷知識（一）：攞牌時最能合作「作弊」的，是對家

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今天就來聊聊一個歷時百餘年的古老桌遊：「麻將」。閲讀本文之前，讀者須對麻將的基本規則有初步的了解，至少了解一些專有名詞：胡、吃、碰、聽等等。接下來，我們將從數學的角度，來探討一些麻將中的冷知識。

文：郭君逸（國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家）

歷久不衰的桌遊——麻將

這幾年來，桌上遊戲的產量驚人，各地桌遊店林立，深受各年齡層的喜愛，每個月都有許多新桌遊被開發出來。在這之中比較受歡迎的桌遊，往往都有個特性，就是「運氣鬥智」。一個桌遊，若完全沒有運氣，玩的人就會很少，例如：「

拈

」。因為，懂得方法的人就一定贏，這樣誰想玩？但若完全靠運氣的桌遊，玩的人也一定不多，因為沒有策略運用的空間。因此，受歡迎的桌遊，通常都運氣與鬥智各半，運氣的部份大多都是要抽牌、丟骰子；鬥智方面就是要做一些計算、優化，讓自己提高勝算。

骰位

打麻將每雀（將）開始前，要先抽牌（一般用東西南北四張牌）決定座位，稱為「骰位或抓位」。由於規則中的吃牌只能吃上家丟出的牌，加上每個牌手打牌的風格不一，因此上下家的關係就頗為重要。

比如説，如果婆婆坐在妳的上家，那妳講話就要特別小心一點，否則她會一直餵到妳叫嫑嫑的，千萬不要以為婆婆老人痴呆了。

圖片來源：電影劇照

一雀結束後，為了避免四家牌手的座位關係和上一雀相同，當骰到與上一雀座位關係不變時，有重新骰位的規定。

那請問重骰的機率有多高呢？

學過高中數學環狀排列單元的話，你知道四人的環狀排列只有3!=6種情況，每種發生的機率相同，所以重骰的機率是1/6。

如果你已經把排列組合還給高中數學老師，參考一下這個直觀的算法。自己的上家和前一雀一樣的機率為1/3，下家又一樣的機率剩1/2，一旦上下家都決定，對家只剩一人沒得選也就固定了，因此，重骰機率1/3 x 1/2也是1/6。

我猜你應該也有一種牌友，輸了很愛「牽拖」上家，經常牌桌上會有類似對話出現：

「婆婆～妳這是盯我啊！」

「運氣已經很差了還坐在雀壇影印機的下家！」

為了避免有人輸了「牽拖」，建議大家可以直接約好打六雀，把六種座位組合都輪一次，均衡一下上下家關係造成的影響。換位的作法其實很常見，你看籃球、排球、足球、羽球……也都是要換場，確保場地因素的公平性。

抓牌

每一風有四個莊，每人輪流當莊家，每一局開始前，會由莊家丟三顆骰子（一般六面那種），依照三顆骰子總和，決定從哪裏開始抓牌。規則是先看要拿誰的門前牌（逆時針方式數），再看從哪裏開始拿（順時針方式數）。例如14就是從莊家上家（由莊家開始逆時針數到14會數到上家）的門前牌，留下14組，從第15組開始依序抓牌。

在這種規則下，每次從哪裏開始抓牌的機率會一樣嗎？

我們先計算骰出3～18每種點數的機率：

點數	骰到誰	出現次數	出現機率
3	對	1	1/216=0.46296％
4	上	3	1/72=1.38889％
5	莊	6	1/36=2.77778％
6	下	10	5/108=4.62963％
7	對	15	5/72=6.94444％
8	上	21	7/72=9.72222％
9	莊	25	25/216=11.57407％
10	下	27	1/8=12.5％
11	對	27	1/8=12.5％
12	上	25	25/216=11.57407％
13	莊	21	7/72=9.72222％
14	下	15	5/72=6.94444％
15	對	10	5/108=4.62963％
16	上	6	1/36=2.77778％
17	莊	3	1/72=1.38889％
18	下	1	1/216=0.46296％
總計	216	100％

接下來，

統計表	骰到誰開始	次數	機率
除以四餘1	莊	55	25.46％
除以四餘2	莊的下家	53	24.54％
除以四餘3	莊的對家	53	24.54％
除以四餘4	莊的上家	55	25.46％

由上表可知，莊家骰到的起始抓牌處之機率並不相等，骰到自己與上家的機率大了一點點。

再細分下去，每張牌在抓牌階段，被不同家拿到的機率也不盡相同。請參照下面的示意圖（這是筆者從excel直接拷過來的，原諒我沒有把所有的字轉正）。洗完牌後，每個人前面會砌18落牌，從莊家前，由右而左開始編號，依拿牌方向（順時針）編號1至72落牌，然後把骰到3點、4點……到18點，各種拿牌的情形，每張牌被每一玩家拿到的次數加起來，就是下表。

圖片來源：作者提供

舉例來説，莊家最右手邊的一落牌（如上圖圈起來的地方），不管骰多少，在抓牌階段，只會被莊家自己或其對家拿到，機率分別是55/216與50/216，一定不會被左右兩家拿到。因此，在拿牌階段最能合作作弊的，是對家。利用簡單的堆牌合作，雙方就能夠掌握一手好牌。

比如説莊家洗牌時，把一堆萬子，放在編號1、5、9、10、14、18的地方，然後對家也把萬子放在編號39、43、44、47、48、52的地方，則抓完牌後，兩家拿到萬子數量將會大大增加，另外兩家拿到萬子的機會就會下降。這是機率大小和期望值發揮作用的地方。當然，如果遇上真正的老千，藉由精準操控骰子，基本上要從哪裏開始拿已經被完全掌握住了。

這裏以台灣牌（16張麻將）為例，香港牌（13張麻將）也是差不多；若是打台灣南部牌（不玩花牌）的話，每個人只砌17落，也是會有類似的情況。如果打的是美國牌，那就不好説了，因為莊家有權要求再換三張。

總之，一坐上牌桌第一件事，要先問清楚打的是什麼牌。打麻將的學問還真不少，光是骰位和拿牌就藏了許多眉角，遑論實戰中出入每張牌所涉及的優化策略之複雜。

圖片來源：電影劇照

手裏拿到上面17張牌，自摸了嗎？

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打麻將的數學冷知識（二）：如何一眼就知道胡牌了沒

本文經授權轉載，原文

刊載於此

責任編輯：朱家儀核稿編輯：潘柏翰

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你的笑容不是你的笑容？透過數位療程讓你的矯正方案不再難以預測

市面上的矯正牙套品牌琳瑯滿目，消費者常因不了解品牌差異而感到徬徨、難以抉擇。因此，如何幫助患者快速了解自身狀況，並達成醫病共識，成為一大關鍵。雅緹斯牙醫診所陳易駿醫師表示，近年隨着技術進步，不僅讓矯正結果變得更可預測，同時也提升患者在療程中的體驗並加速療程效率，讓消費者不走冤枉路，預見未來自信笑容。

Photo Credit：雅緹斯牙醫診所

雅緹斯牙醫診所陳易駿醫師表示，近年隨着科技進步，不僅讓矯正結果變得更可預測，同時也提升患者在療程中的體驗並加速療程效率。

臉部笑容模擬、數位微笑設計兩大技術讓你遇見未來美好笑容

多數人印象中的矯正必經過程，可能還停留在用傳統印模材料取模，即便過程不適、反嘔也不得不忍耐。此外，患者也只能透過醫師口述，想像療程完成後的變化。然而，現今矯正導入數位科技，運用大數據資料庫與先進的軟硬件設備，透過模擬與圖像化的呈現，讓醫師與患者在溝通上，更加輕鬆與直觀。陳易駿醫師分享導入科技應用後，讓他跟患者都有感的的兩大環節：

首先，跳脱傳統取模方式現在可以透過數位口腔掃描儀，精準且快速地建立患者的牙齒3D模型，並與患者討論想改善的牙齒排列、假牙贋復等需求。此外，陳易駿醫師也提到口掃儀器不僅能呈現牙齒外觀，更有「臉部笑容模擬」技術。

他以虎牙突出、牙齒排列不齊的12歲女童為例，孩子的牙齦已因排列不齊的原因出現紅腫發炎的情況。他藉由此技術，透過雲端運算與臉部模擬成像的方式，讓家長與患者在幾分鐘內就能看到未來可能獲得的理想笑容，同時也了解矯正治療的迫切性。如此一來，不僅幫助醫病溝通，更能夠提升患者接受治療的意願。

Photo Credit：雅緹斯牙醫診所

陳易駿醫師透過臉部笑容模擬技術，不僅顯示出孩童牙齒排列不齊造成的牙齦腫脹問題，也讓患者理解矯正治療的迫切性。

再者，在現今技術下，醫師可以利用全球使用者資料庫，與創新「數位微笑設計」技術輔助，規劃出滿足牙齒排列整齊、微笑美學設計雙目標的治療計劃。陳易駿醫師分享一位22歲因門牙突出，曾在一年內撞斷兩次門牙的案例，原先患者只想進行植牙治療，但經專業評估後認為，若僅有植牙恐造成假牙突出、不自然，並可能再次發生撞斷的情況。

為協助患者更加了解完善的治療方式，醫師透過口腔掃描儀與「數位微笑設計」技術，將患者外觀納入微笑設計，讓醫師在設計治療計劃時，能同步規劃牙齒位置與植牙所需的空間，以利矯正完成後能順利銜接植牙治療。與此同時，患者也能透過模擬的結果，更加了解進行治療的重要性。

Photo Credit：雅緹斯牙醫診所

陳易駿醫師透過數位微笑設計技術，同步規劃牙齒位置與植牙所需的空間，以利矯正完成後能順利銜接植牙治療。

數位矯正療程提供完善的美齒規劃

在創新數位科技的輔助之下，患者得以節省很多過去繁複的療程前期步驟，乃至於心力與時間成本。但療程開始後，我們是否能追蹤療程如同預期發展？陳易駿醫師表示，在療程開始後，患者不僅可藉由APP紀錄並追蹤自己的佩戴狀況，醫師也能使用口腔掃描儀再次掃描，藉由進度追蹤功能即時對照原先的計劃，更加掌握療程的進度。

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本文為採訪「雅緹斯牙醫診所陳易駿醫師」本文章內容由「霍夫曼公關」提供。